从指定的首项、公比和范围计算等比数列的总和。

输入首项、公比和要计算的等比级数的范围，单击“计算等比数列之和”按钮，计算并显示指定范围内的等比级数和。

它还展示了如何计算等比数列的总和。

请为 首项 和 公比 输入最多 15 位数字，为 第n个数字 输入最多 10,000 位数字。

等比数列是相邻项的比率相等的数字序列。

序列中的第一项称为首项，相邻项的比率称为公比。

例如，以下数列的首项为 1，公比为 3。

由于公比为 3，因此所有相邻项的比率为 1:3。

首项到第 n 项的总和

计算首项到第 n 项的总和。

如果首项为 a，公比为 r，数列如下。

a, ar, ar², ar³ ... arⁿ⁻², arⁿ⁻¹

令 Sn 为该序列的首项至第 n 项之和，Sn 可以表达如下。

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻² + arⁿ⁻¹

将该方程两边都乘以 r。

rS_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ

将这两个表达式的左侧和右侧相减。

左边变成了S_n - rS_n，右边消失了，所以变成了- arⁿ。

S_n − rS_n = a − arⁿ

解出 Sn。

S_n(1 − r) = a(1 − rⁿ)

S_n = a(1 − rⁿ)(1 − r)

所以

当 r=1 时，等比数列中的所有数都等于首项，因此变为：

S_n= a + a + a + ... + a + a = na

所以

从第 n 到第 m 的总和

要计算第 n 到第 m 的和，类似地，将顺序颠倒并将两边相加。

左边变成rS_m−n − S_m−n，右边中间部分消失，所以arⁿ⁻¹ − 变成ar^m。

rS_m−n − S_m−n = arⁿ⁻¹ − ar^m

解出 S_m−n。

S_m−n(1 − r) = a(rⁿ⁻¹ − r^m)

S_m−n= a(rⁿ⁻¹ − r^m)(1 − r)

所以

当 r=1 时，等比数列中的所有数都等于首项，因此变为：

S_m−n= a + a + a + ... + a + a = (m − n + 1)a

所以